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Algoritmo para la División de Polinomios en Matlab

 

hay un método para dividir polinomios llamado "División Larga" en el cual se basan ciertas igualdades con series de sumas infinitas de series de potencias. 

Por ejemplo esta serie:      1/(1 - x) = 1 + x + x2 + x3 + ...

Para hacer esta división los polinomios se deben ordenar de menor a mayor grado, en el caso de una división simple como (x2+2x+1)/(x+1) se coloca de esta forma:

Sí, el numerador y el denominador se colocan al revés de cómo normalmente se colocan al hacer la división. Bueno así nos enseñó el profe de PDS y así está basado el algoritmo...

Para el primer término (en este caso el de menor grado) del cociente se divide el término de menor grado del numerador entre el término de menor grado del denominador:

Luego se multiplica el denominador por eeste primer término del cociente y se resta al numerador:

(1+2x+x2)-(1+x)=x+x2 

por lo que la nueva división será entre:

Y se vuelve a dividir el término de menor grado del nuevo numerador entre el término de menor grado del denominador:

Luego se multiplica el denominador por el término del cociente recién calculado (en verde) y se resta al numerador:

(x+x2)-(x+x2)=0 

Esto se repite hasta que ya no queda numerador. El coeficiente se obtiene término a término y en este punto ya lo tenemos. 

En el caso de 1/(1-x) se generará una suma polinómica infinita pues siempre habrá numerador con el qué dividir.

 

He aquí el algoritmo ya comentado:

%Algoritmo para realizar la "División Larga"
%programado por Yelinna Pulliti Carrasco
%http://toyscaos.tripod.com/eam.html

ex = input('ingresar el mayor grado de los polinomios: '); 

% si se tiene por ejemplo (0.5-3x^2)/(2 + x + x^3) se debera ingresar 3

Hd = zeros(1,30); %contendra los coeficientes del denominador
Hn = zeros(1,30); %contendra los coeficientes del numerados
Hc= zeros(1,30); %contendra los coeficientes del cociente
% la longitud de estos vectores puede hacerse mas o menos larga a
% conveniencia, he puesto arbitrariamente 30 pero puede ser cualquier
% numero, esto es porque hay divisiones polinomicas que generan sumas
% infinitas.

Hn(1)= input('ingrese el termino independiente del numerador: '); % para el ejemplo anterior seria 0.5

while Hn(1) ==0 %si este termino es cero, el polinomio no es irreductible
Hn(1)= input('dato no valido, debe ser diferente de 0. Ingrese otro valor: ') ;
end; 

for k = 2:ex+1
Hn(k) = input(strcat('ingrese el ', int2str(k-1), '° coeficiente del numerador: ')); 
end; % en el caso del numerador los numeros a ingresar son: 0.5 , 0 y -3

disp('2do polinomio: ');

Hd(1)= input('ingrese el termino independiente del denominador: '); % para el ejemplo seria 2

while Hd(1) ==0 
Hd(1)= input('dato no valido, debe ser diferente de 0. Ingrese otro valor: ') ;
end; 

for k = 2:ex+1
Hd(k) = input(strcat('ingrese el ', int2str(k-1), '° coeficiente del denominador: ')); 
end; % en el caso del denominador los numeros a ingresar son: 1 , 0 y 1


% este algoritmo se deduce del metodo para dividir polinomios que genera
% sumas infinitas si el resultado no es exacto, por ello nunca se generara
% un residuo. Este tipo de division es muy util en el caso que se tengan
% que generar series de potencias y se conoce como "División larga"
% Recomiendo probarlo con 1/(1-x) y haciendo que la longitud de los
% vectores Hn, Hc y Hd sea mucho mayor.

Hc(1) = Hn(1)/Hd(1);

for i=2:length(Hn)
Hn(i-1)=0; kk= 2;

for j=i:length(Hn)
Hn(j) = Hn(j)-Hc(i-1)*Hd(kk);
kk= kk+1;
end;

Hc(i) = Hn(i)/Hd(1);

end;

disp('Los sumandos del cociente son: ');

for i = 1:length(Hc)

if Hc(i)==0
continue;

else 
disp(strcat(int2str(Hc(i)), 'x^', int2str(i-1) )); 
end;

end;

La condición es que el denominador y tenga un término independiente, es preferible que numerador y denominador sean irreductibles.